数学奖赛道 · 候选课题 40 则

本方案面向 2027 赛季（2026 赛季提交截止为 2026 年 9 月 15 日，从零启动已来不及）。倒排时间表以 2026 年 9 月为第 0 周、2027 年 9 月 15 日提交为终点，共约 52 周。

学生画像与资源假设：普通重点高中生，有一定编程与数学基础；计算资源为个人笔记本、纯 CPU、无 GPU 无集群；实验资源不超过中学常规实验室；全部使用公开数据；由中学教师即可指导。凡超出这一假设的路线，都在标签里标明了资源门槛。

四条必须先知道的赛制事实（取自官方公告，2020–2026 全部公示文章）：指导老师不得来自培训机构或任何谋利机构，违者取消资格；总决赛全程英文（研究报告、PPT、答辩）；入围总决赛的研究报告会在 11 月全网公示；提交材料含论文查重报告与实验视频。规则每年会改，报名开放后须重新核对当年《参赛规则》与本学科《参赛指南》。

这个赛道的评委在奖励什么

统计 2020–2025 共 66 项数学奖获奖论文，谱系相当稳定：

顶端是纯数学，且集中在四个方向。 数论（筛法、素数分布、zeta 与 L 函数、Diophantine 逼近）与组合/图论（Turán 型问题、竞赛图圈结构、格点计数、着色）合计约占四成；代数与表示论（量子群晶体基、Temperley-Lieb 代数、有限群）和几何分析（Carathéodory 猜想、等周与等径问题、丘几何猜想、雪茄孤子）各占约两成。2020–2023 的金奖全部是纯数学。

应用建模能进入前列，但要求极高的"数学含量"。 2024 金奖是《基于马尔可夫决策过程的老年人飞镖投掷策略优化》——题材极轻，但方法是完整的 MDP 求解与最优策略证明。2025 的 finalist 里出现了发热门诊排班的混合整数规划、百米跑技术的数学模型。这说明应用题不是没有机会，但它的竞争力来自模型本身可被证明的性质，而不是"用数学解决了一个实际问题"这句话。

数值方法与算法类是被低估的窗口。 绝对值方程的快速数值方法、随机动力系统的密度演化通用算法、圆图的围长计算算法都拿到了奖。这一族对算力要求最低（交付物是收敛阶与复杂度分析，不是高参数区间），对中学生最友好，却是投稿密度最低的一族。本方案的 M11–M20 有意向这一族倾斜。

参赛主体的现实。 获奖名单里 MIT PRIMES、Phillips Exeter、NUS High School、上中国际部、北师大实验、南外反复出现。这些团队通常有大学导师带。普通重点高中生要赢，靠的不是撞同一个难题，而是选一个"计算可驱动、小情形可穷尽、结论正负都成立"的问题。本方案全部 20 条路线都按这个原则设计。

本赛道 20 条路线的分族逻辑

• M01–M10 离散数学族：组合、数论、图论、算法数论。共同优势是计算实验可以先行——学生用程序穷尽小情形、观察规律、再回头证明。失败模式是证不出来，但"完整分类了 n ≤ N 的所有情形并给出反例/猜想"本身仍是可交付的结论。
• M11–M20 连续与应用族：几何、分析、概率、动力系统、数值分析、优化建模。共同优势是结论天然量化（收敛阶、误差界、置信区间），验收标准好写，且大多有解析解可作方法学校验。

两族的排序内部独立：M01 与 M11 分别是各自族里最稳的，M10 与 M20 分别是风险最高、上限也最高的。