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接种意愿博弈与流行病传播的耦合离散动力系统：稳定性判据与分岔结构
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
把"接种意愿随感染风险与模仿行为演化"的博弈动力学与离散时间 SIR 传播耦合成三维映射后，其无病平衡点与地方病平衡点的局部稳定性判据（关于基本再生数 R₀ 与模仿速率 κ 的显式不等式）是什么？当 κ 增大时系统经何种分岔（倍周期或 Neimark–Sacker）失稳，分岔类型能否由判据严格判定并与数值分岔图吻合？
2 · 研究背景与空白
行为–流行病耦合模型是数学流行病学的成熟分支：连续时间的"模仿动力学 + SIR"框架（Bauch 2005 年前后的复制动力学接种模型，需核实精确出处）证明了接种率的振荡可由行为反馈内生产生。离散时间版本在数学上并非平行推论——离散映射的失稳通道（flip / Neimark–Sacker 分岔）与连续系统本质不同，判据要重新推导；而离散版恰好只需要线性代数（Jacobian 特征值进出单位圆）与标准分岔判据，对学生完全可达，且每一步都能用数值分岔图交叉验证。
已有工作：连续时间耦合模型及其振荡结论（第 3 周核实原始文献与后续综述：搜索关键词 Bauch imitation dynamics vaccination SIR oscillation；搜索关键词 discrete epidemic model Neimark-Sacker bifurcation）；离散 SIR 本身的分岔分析有文献，离散"博弈 + SIR"耦合的系统稳定性判据是否已发表需核实——这是本题的空档假设。丘奖相邻获奖论文：2023 铜奖《Invariant Algebraic Surfaces of the Shapovalov Mid-sized Firm Model and its Dynamical Analysis》（三维系统动力学分析，金融背景）、2024 银奖《Density Evolution in Stochastic Dynamical Systems with Memory: A Universal Algorithm》、2021 优胜奖《Analysis of the Influence of the Three-child Policy on China's Future Population and the Corresponding Measures》（人口建模，统计为主）。
空白在：离散时间耦合模型的显式稳定性判据 + 分岔类型判定（第 3 周核实；若已发表则加入疫苗时滞或年龄两组结构作为增量，分析框架不变）。数据仅用于参数取值范围（公开疫苗覆盖率/疫情时序），主结论是解析判据，不依赖拟合——这把课题牢牢固定在数学侧。
3 · 可检验假设
- H1：无病平衡点当且仅当 R₀ < 1 局部渐近稳定（离散版精确陈述）；地方病平衡点在 κ < κ(R₀)（显式公式）时稳定,κ 越过 κ 时经 Neimark–Sacker 分岔产生不变闭曲线（接种率–流行强度的持续振荡）。
- H2：分岔后的振荡周期与幅度随 κ 的标度关系在数值上呈幂律，其指数与一般 Neimark–Sacker 正规形理论预测一致（该对照本身是模型正确性的内检）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：数值管线先复现两个已知锚点——(a) 退化为纯离散 SIR（无行为反馈）时，复现教材级 R₀ 阈值与稳定性结论（解析 + 数值一致）;(b) 连续时间耦合模型的已发表定性结论（振荡出现的参数方向）在小步长离散化下定性复现。不过关则模型实现有误，全线无效。
- 解析交付：三维映射的平衡点显式表达、Jacobian 特征多项式、稳定性判据（Jury 条件形式）与分岔类型判定的完整推导；关键代数步骤用 SymPy 机器复核。
- 数值交付：(R₀, κ) 参数平面的稳定性相图 + 分岔图（每参数点弃暂态 10⁴ 步、采样 10³ 步，规则预写死），解析边界与数值边界偏差 ≤ 2%（参数扫描分辨率内）。
- H2 标度：Lyapunov 指数与振幅曲线，标度指数报自助法 95% CI，明确标注为数值结果。
- 参数现实性：R₀ 与接种参数取值范围引公开数据（WHO 免疫覆盖率公开库等，仅定范围，不做拟合，不计入贡献）。
- 代码开源，一键复跑（全套笔记本数小时）。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 符号推导复核 | SymPy（特征多项式、Jury 条件） |
| 数值分岔 | 自写 NumPy 迭代 + 分岔图/Lyapunov 谱脚本 |
| 连续模型对照 | 原始文献（第 3 周核实;SciPy odeint 复现其定性结论，仅校验，不计入贡献） |
| 参数范围 | WHO/Our World in Data 免疫覆盖公开数据（网站直接下载 CSV；仅定参数范围） |
| 算力量级 | 10³×10³ 参数网格 × 10⁴ 迭代 ≈ 10¹⁰ 次映射运算,NumPy 向量化后笔记本数小时，纯 CPU |
6 · 方法路径
- 实现离散 SIR 与耦合映射，完成第 4 块第 1 条两项锚点复现。
- 文献窗口：核实离散耦合模型判据的发表现状（能力边界核实步），确定增量位置。
- 解析推导平衡点与 Jury 稳定性判据,SymPy 复核每步代数。
- 扫描参数平面，叠加解析边界与数值边界，定位并修复不吻合处（不吻合优先怀疑推导）。
- 分岔类型判定（正规形系数符号）与 H2 标度实验。
- 用公开数据定参数现实域，讨论判据在现实域内的含义；写清解析/数值边界成文。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称连续时间耦合模型的振荡机制为本项目发现（已发表，作为动机与对照），不对真实疫情做预测或政策断言（论文明确声明模型局限）。
- 已有工作：连续耦合模型（Bauch 线，第 3 周核实）；离散 SIR 分岔文献；可能存在的离散耦合先例（核实后如实定位增量：无先例 → 判据为首份；有先例 → 增量转到时滞/两组结构扩展）。丘奖相邻获奖论文：2023 铜奖 Shapovalov 系统动力学分析——同为"具体三维系统的完整稳定性/不变结构分析"范式但对象不同;2021 优胜奖三孩政策人口分析为统计外推型，本题以解析判据为主结论，形态不同。
- 本项目贡献（主结论）：离散耦合系统的显式稳定性判据与分岔类型定理 + 全参数相图验证。
- 价值：判据是可独立检验的数学命题;"行为反馈把稳定流行平衡失稳成振荡"在离散框架下获得精确条件，负结论（某分岔类型不出现）同样成立。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：文献核实完成，增量位置冻结（基础判据 vs 时滞/两组扩展）。
- 第 6 周末：硬门槛两项锚点复现通过。
- 第 14 周末：解析判据与数值边界若持续不吻合（> 5%）且查不出推导错误 → 降级路径 A：判据交付降为"数值精确定位的稳定性边界 + 特殊参数线上的严格判据"（如固定恢复率的一维参数族，可完整证明），主框架（稳定性图景 + 分岔结构）不变。
- 第 26 周末：正规形分岔类型判定若超出能力 → 降级路径 B：分岔类型改由数值判据（不变闭曲线检测规则预写死）支持，解析部分止于 Jury 稳定性判据——判据本身已是自足主结论。
- 选择前提：适合对建模有兴趣但要求数学内核的学生；需接受"解析推导为主、数据仅定参数域"的课题形态，不适合想做数据拟合的学生。
- 预算裁剪顺序：H2 标度章节 → 两组结构扩展 → 参数现实域讨论;Jury 判据推导与相图验证不砍。