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受迫阻尼摆吸引域分形边界维数随阻尼的标度：盒计数、不确定性指数与吸引域熵的三方交叉验证
1 · 研究问题
受迫阻尼单摆（damped driven pendulum）多吸引子共存区的吸引域边界（basin boundary）分形维数，用盒计数法、不确定性指数法（uncertainty exponent）与吸引域熵法（basin entropy）三种独立估计是否给出一致值（差异在各自误差棒内）？进一步：维数随阻尼系数的变化曲线是否存在可测的突变（对应边界变胞 metamorphosis）？
2 · 研究背景与空白
分形吸引域边界使终态预测能力下降：不确定性指数 α 与边界盒维数 D₀ 满足 α = D − D₀（McDonald–Grebogi–Ott–Yorke 1985），双曲情形下盒维数=不确定性维数已被证明（Commun. Math. Phys. 150, 1992）。吸引域熵（Daza et al. 2016, Sci. Rep.）是近十年提出的第三种度量，并有"通过熵检测分形边界"的后续（Commun. Nonlinear Sci. 2021）。受迫摆的分形吸引域是教科书级现象（Grebogi–Ott–Yorke 系列）。
已有工作确立了方法与个例；本次检索确认：针对受迫阻尼摆做系统阻尼参数扫描并三方法交叉验证的研究未检索到（结果多为单参数点演示或其他系统如磁尾粒子、黑洞光子；未找到不等于不存在）。
空白在参数维度与评价维度：把三种估计器的一致性本身作为被测对象，在一条阻尼扫描线上系统对照。数值门槛清楚，风险主要在算力管理。
3 · 可检验假设
- H1 在选定共存区内，盒计数与不确定性指数给出的 D₀ 在 95% 置信区间内一致（|ΔD₀| ≤ 0.05），且吸引域熵的边界熵 Sbb 与 D₀ 单调共变（Spearman ρ ≥ 0.9）。
- H2 D₀(阻尼) 曲线存在至少一处斜率突变或跳变（边界变胞），其位置与吸引子分岔事件（用分岔图独立定位）在参数分辨率内重合。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自建管线在有已发表维数值的基准系统上复现——Hénon 映射分形吸引域边界或 McDonald et al. 1985 论文算例，D₀ 与发表值偏差 ≤ 3%；同时在光滑边界情形（单摆低驱动）验证测得 α ≈ 1（偏差 ≤ 0.03）。不过关则后续全部结论无效。
- 吸引域网格 ≥ 1024×1024；吸引子归类判据明确可复现（相位/能量容差写死，长暂态截断 ≥ 200 驱动周期并报告未归类点比例 < 0.5%）。
- 盒计数拟合区间用滑动窗口选取并报告区间敏感性；不确定性指数用 ≥ 6 个 ε 十倍程；两者都给自助法置信区间。
- 阻尼扫描 ≥ 15 个参数点，突变候选处加密至 3 倍分辨率。
- 收敛性检查:网格 512/1024/2048 三档，D₀ 漂移 ≤ 0.02 才采信；积分器步长减半验证归类结果变化 < 0.1%。
- 代码开源、一键重跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| ODE 积分 | 自建 RK4 的 numpy 批量向量化版本（同时推进 10⁶ 条初值轨道，这是算力可行的关键）；scipy.solve_ivp 不适合百万初值批量——此边界需在第 2 周实测核实 |
| 基准算例 | Hénon 映射 / McDonald–Grebogi–Ott–Yorke 1985 发表维数，仅用于校验，不计入贡献 |
| 吸引域熵 | Daza et al. 2016 算法自建（~50 行）；无现成 Python 包——需核实（若有包亦须与论文定义核对） |
| 维数拟合 | numpy/scipy 最小二乘 + 自助法自建 |
| 算力 | 1024² ≈ 10⁶ 初值 × 每条 ~2×10⁴ 步:向量化 RK4 单参数点约 1–3 小时；15 点 + 收敛检查约 60–100 小时 CPU，夜间分批 |
6 · 方法路径
- 装环境，写批量向量化 RK4，实测吞吐（第 2 周核实算力边界）。
- 基准系统校验维数管线（第 1 条验收）。
- 选定摆的共存区（先扫分岔图确定吸引子个数随阻尼的变化）。
- 单参数点上完成三方法测量与收敛检查，冻结全部判据。
- 阻尼扫描，绘制 D₀、α、Sbb 三曲线。
- 突变候选处加密 + 与分岔图事件对齐。
- 交叉校验:一个参数点改用 scipy 逐条积分抽样 10³ 初值核对归类一致率 ≥ 99.9%。
7 · 新颖性边界
本课题不声称新维数定义或新动力学现象；α=D−D₀ 关系、盒维数=不确定性维数的定理（CMP 1992）、吸引域熵方法（Daza 2016）、摆的分形吸引域现象均已发表。已有工作在个例系统上分别使用这些估计器。本项目的主结论是同一系统、同一扫描线上三估计器的一致性检验与变胞事件定位——属"评价维度转换 + 新参数扫描"。历届丘奖 2025 finalist 有 Smale 马蹄构造 Hausdorff 维数的理论工作，本项目为数值测量方向，无重合。若三方法不一致（超出误差棒），这恰是更有价值的结论（提示非双曲效应），但必须先用收敛检查排除数值假象。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 2 周末:批量 RK4 吞吐实测。若单参数点 > 6 小时，降级路径 A：网格降为 512²、扫描点减为 8——三方法一致性主结论保留，变胞定位精度下降。
- 第 5 周末:基准维数校验通过。
- 第 10 周末:确认摆共存区存在且边界分形（α 显著 < 1）。若所选驱动幅值下边界光滑，换文献已报道分形吸引域的参数区（Grebogi–Ott–Yorke 给过具体值）；若仍找不到，降级路径 B：换受迫 Duffing 振子（分形吸引域参数有大量发表值），三方法框架原样迁移，主结论不变。
- 第 24 周末:若变胞事件未观测到，H2 放弃，H1（方法一致性）独立成文。
- 适合对象:能接受长时间批跑与严格判据纪律的学生；风险中等，集中在参数选择与算力。