M04
有限群子群交换度的取值谱：GAP 小群库全库计算、次大值分类与 1 附近间隙判定
1 · 研究问题
阶 ≤ 64 的全部有限群的子群交换度 sd(G)（subgroup commutativity degree：随机两子群相乘仍为子群的概率）取哪些值？在最大值 1（Iwasawa 群）附近是否存在间隙——即是否有 ε>0 使 sd(G)∈(1−ε,1) 无解？
2 · 研究背景与空白
元素层面的交换度 d(G) 有著名的 5/8 定理（d(G)>5/8 ⟹ 交换群），其"取值谱有间隙"是概率群论的模板结果。子群层面的类比 sd(G) 由 Tărnăuceanu 引入（J. Algebra 2009 及 Addendum 2011），给出了二面体、四元数等族的显式公式；sd(G)=1 当且仅当 G 是 Iwasawa 群（全部子群两两置换）。后续有相对版本与"恰有两个相对交换度的群"（arXiv:1801.09133）等。
空白在未见全库数值谱表与"1 附近间隙"的明确判定（检索未见；未找到不等于不存在，第 2 周须以 gap in subgroup commutativity degree 复查）。适合学生：GAP 把子群格计算全部内置，学生的工作是谱分析与对候选极值族的格结构证明；"间隙存在"与"给出 sd→1 的非 Iwasawa 群列"两种结论都成立。
历届对照：2020 年银奖《Investigation on i-commuting probabilities on finite groups》是元素层面的交换概率变体；本题在子群格层面，计算对象（子群格而非元素对）与技术完全不同。
3 · 可检验假设
- H1：阶 ≤ 64 范围内 sd 的次大值（<1）由某单参数族达到，且该族 sd 有显式公式、随参数单调趋 1 或趋一个 <1 的极限（两种情形分别对应"无间隙"与"有间隙"的证据）。
- H2：sd 值谱在 (0,1) 内的聚点集包含 0（存在 sd→0 的群列，可显式给出）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：用自建 GAP 管线复算 Tărnăuceanu 已发表的 D2n（n≤20）与 Q4n（n≤10）显式公式值 ≥ 25 个点，全部吻合；另对 5 个小群用暴力枚举全部子群对独立复核。不吻合则后续无效。
- 全库表：阶 ≤ 64 全部群（群个数以 GAP
NumberSmallGroups汇总为准，第 1 周核实）的 sd 精确有理值。 - 间隙判定：或证明"存在 ε 与显式候选"，或给出 sd 单调趋 1 的非 Iwasawa 群列（反证间隙），二者其一必须落地。
- 谱分析报告：排序表、聚点证据、sd 与幂零类/子群格大小的相关性（Spearman，报置信区间）。
- GAP + Python 脚本开源。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 群库与子群格 | GAP（免费）内置 SmallGroups 库（阶 ≤2000，除 1024）与 LatticeSubgroups / ConjugacyClassesSubgroups；HK=KH 判定需自写小函数（比较集合乘积大小） |
| 规模 | 最坏群 C2^6 有 2825 个子群 → ~4×10^6 有序对，单对判定微秒级，单群分钟至小时级；阶 ≤ 64 全库总耗时预计数小时至两天；阶 128（2328 个群）超出常规范围，仅抽样 |
| 已知公式对照 | Tărnăuceanu 2009/2011 论文——仅校验用，不计入贡献 |
| 谱分析 | Python pandas / scipy（相关性与自助法置信区间） |
6 · 方法路径
- 装 GAP，写 sd 计算函数，完成双重校验。
- 核实 gap 文献与"次大值是否已被研究"（工具与文献双核实点）。
- 跑全库，按阶与幂零类整理谱表。
- 定位次大值群与趋 1 群列候选，猜测所属族。
- 对候选族手工计算子群格（模群 Mpn、拟二面体等格结构有文献可查），推导 sd 显式公式。
- 由公式的极限行为判定间隙问题，写成定理或反例。
- 交叉校验：族公式与全库数值在交集处逐点比对。
7 · 新颖性边界
sd 的定义、二面体/四元数公式、sd=1 ⟺ Iwasawa 均为 Tărnăuceanu 已发表结果，本项目不重复声称。2020 年丘奖银奖研究的是元素层面 i-交换概率，与子群格层面无重叠。本项目贡献（主结论）：首个阶 ≤ 64 全库精确谱表 + 1 附近间隙问题的明确判定（定理或显式反证群列）。价值：把元素交换度的"5/8 型间隙"模板问题推到子群格层面并给出可复核答案；若间隙不存在，趋 1 群列本身即为主结果。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：校验全过；文献复查确认间隙问题未被解决（若已解决 → 主问题换为"次大值分类 + 聚点刻画"，管线不变）。
- 第 10 周末：实测阶 64 的 267 个 2-群总耗时。若 > 2 周 → 降级一：全库上限收缩到阶 ≤ 48，外加二面体/四元数/模群三族的解析延伸；框架不变。
- 第 22 周末：若候选族格结构推导卡住 → 降级二：主结论为数值谱 + 聚点刻画（H2）+ 次大值的经验分类，间隙部分降为数据支持的猜想。
- 选择前提：适合愿意学一点子群格语言的学生；纯编程型学生建议选 M02/M03。