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√(n²+k) 型二次无理数连分数周期的完全分类：|k| ≤ 50 的封闭公式与证明
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
固定整数 k（0 < |k| ≤ 50），当 n → ∞ 时 √(n²+k) 的连分数展开是否只呈现有限多个"周期模式"（周期元素为 n 的线性函数），这些模式能否按 n 的同余类完全分类并逐一给出代数恒等式证明？分类中周期长度关于 k 的最大值呈何种规律？
2 · 研究背景与空白
二次无理数的连分数展开最终周期（Lagrange 定理）,√d 的周期与 Pell 方程、实二次域基本单位直接相关。经典特例familiar：√(n²+1) = [n; 2n̄]、√(n²+2) = [n; n, 2n̄]、√(n²+n) 等短周期族是数论教材的标准素材。"固定 k、让 n 跑"的族给出一个天然的实验-证明闭环：先机器算出周期表，按 n mod M 分类，再对每类写出恒等式并手工验证——每个恒等式的证明是初等的（验证纯周期展开的矩阵恒等式），可完全严格。
已有工作：小 k（|k| ≤ 4 及 k | 2n 情形）的封闭公式散见教材与期刊短文（需核实系统分类到 |k| = 50 是否已发表：搜索关键词 continued fraction expansion sqrt(n2+k) period classification）;√d 周期长度的平均/极值渐近是深水区（与类数问题相关），本题不进入。丘奖相邻获奖论文：2021 银奖《Padé approximations in Diophantine Approximations and Irrationality Problems about Confluent Hypergeometric Functions》属连分数/丢番图逼近题材near,2025 优胜奖《Investigation on the trends of particular cosine products》示范了"具体解析对象的趋势刻画"路线。
空白在：中等范围 k 的完全分类（模式清单 + 周期长度规律 + 全部证明）未见系统发表，而它对学生完全可达：计算便宜、证明初等、结论封闭可验。
3 · 可检验假设
- H1：对每个 0 < |k| ≤ 50，存在模数 M(k) 使 √(n²+k) 的周期模式仅依赖 n mod M(k)（n 充分大），模式总数有限且可显式列出；该分类对 n ≤ 10⁵ 机器验证零例外。
- H2：最大周期长度 L(k) 与 k 的除数结构相关（如 L(k) 在 k 为素数时显著大于 k 高度合成时），可给出可证明的上界 L(k) ≤ f(k)（f 显式）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自写连分数展开器与 SymPy 的 continued_fraction_periodic 在 d ≤ 10⁶ 的随机 10⁴ 个非平方 d 上完全一致，并复现教材经典族（√(n²+1)、√(n²+2)、√(n²−1)、√(n²+n)）的公式。不过关则全线无效。
- 分类交付：|k| ≤ 50 每个 k 的模式清单（周期元素为 n 的显式线性式）,n ≤ 10⁵ 全量验证零例外。
- 证明交付：全部模式的代数恒等式证明（可采用"純周期部分的矩阵乘积等于基本自守"统一引理，逐模式机器辅助验证 + 手工归纳）；明确标注若有个别模式仅验证未证明。
- 周期长度规律：L(k) 表 + 可证明上界；统计断言（如与除数个数的相关）用自助法 95% 置信区间，并明确标注为计算观察。
- 代码开源，分类表机器可读，一键复跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 连分数计算 | Python 整数算法自写（PQa 算法）;SymPy 对照（仅校验，不计入贡献） |
| 恒等式机器辅助验证 | SymPy 符号矩阵乘积化简 |
| 经典公式对照 | 初等数论教材（如潘承洞《初等数论》、Rosen）与 OEIS 周期长度序列（A003285，仅校验） |
| 算力量级 | k ≤ 50 × n ≤ 10⁵ 全表笔记本小时级，纯 CPU |
6 · 方法路径
- 实现 PQa 连分数算法，完成第 4 块第 1 条校验。
- 扫描 |k| ≤ 50、n ≤ 10⁴ 的周期表，自动按 n 的同余类聚类模式。
- 文献窗口：核实已发表分类的覆盖范围（能力边界核实步），把已发表的 k 标为对照集。
- 对每类模式写出待证恒等式，推导统一引理，机器辅助逐一验证 + 手工完成归纳证明。
- 把验证范围推到 n ≤ 10⁵ 确认零例外；整理 L(k) 规律并证明上界。
- 独立交叉校验：SymPy 全量复算分类表；随机抽 100 个 (k, n) 手工验证展开。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称触碰 √d 周期长度的平均渐近或类数问题，不把教材经典族计入贡献。
- 已有工作：|k| ≤ 4 与特殊整除关系情形的封闭公式（教材与短文，第 3 周核实清单）;Lagrange/Galois 周期理论（经典）。丘奖相邻获奖论文：2021 银奖 Padé 逼近与无理性问题——本题差异：对象是二次无理的周期结构分类而非超越性/无理性，方法是初等恒等式而非 Padé 逼近。
- 本项目贡献（主结论）：|k| ≤ 50 的完全模式分类定理（含证明）+ 周期长度上界。
- 价值：封闭、可机器复核、正结论（分类完备）与负结论（发现例外模式）皆有效；为经典教材素材补上系统版本。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：文献核实。若发现完全分类已发表至 |k| ≤ 50 → 上限提到 |k| ≤ 200 或转向 √(n²+an+b) 双参数族，管线与证明引理不变。
- 第 6 周末：硬门槛通过 + 自动聚类能稳定输出模式清单。若聚类因预周期干扰失败 → 改为"n ≥ n₀(k) 后分类"，并把 n₀(k) 的确定写成引理。
- 第 20 周末：若个别 k 的模式数爆炸（> 30 类）导致证明工作量超限,降级路径：这些 k 降级为"验证 + 模式表"，完整证明范围收缩到 |k| ≤ 30——主结论框架（分类定理 + 长度规律）不变。
- 预算裁剪顺序：L(k) 统计章节 → k 上限；分类证明主线不砍。