M30
Somos 型三项递推的整性边界：Laurent 现象参数族的计算探索与部分证明 【高风险高上限】
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
选择前提：仅当学生已自学过多项式环与递推序列基础、明确接受"证明部分可能只覆盖小子族"的风险，且指导老师愿意陪读簇代数入门材料时才启动。上限：触碰 Laurent 现象（Laurent phenomenon）这一当代代数组合核心，做出即是清单中最亮眼的纯数学结果之一。
1 · 研究问题
三项 Gale–Robinson 型递推 x₍ₙ₊ₙ₀₎ xₙ = a·x₍ₙ₊ᵣ₎ x₍ₙ₊ₙ₀₋ᵣ₎ + b·x₍ₙ₊ₛ₎ x₍ₙ₊ₙ₀₋ₛ₎（初值全 1）在参数 (N₀, r, s, a, b) 的哪些取值下产生整数序列？整性成立的参数集能否被"可由簇代数 Laurent 现象解释"的子集刻画，超出该子集的整性实例是否存在（计算探索），其中哪些可给出严格证明？
2 · 研究背景与空白
Somos 序列（Somos-4 到 Somos-7）"除法递推竟然全是整数"的现象由 Laurent 现象解释：Fomin–Zelevinsky（2002 前后，需核实精确出处）证明这类递推的项是初值的 Laurent 多项式，系数整故取整初值得整数。Somos-8 首次出现非整数项（文献记载在第 44 项附近，需核实精确位置），标记了现象的边界。Gale–Robinson 递推族的整性已由簇代数/LP 代数（Lam–Pylyavskyy 的 Laurent phenomenon algebras，需核实）框架证明。
已有工作：标准 Gale–Robinson（a, b 为常数、指数结构对称）整性已证；带系数变形与非对称指数的三项族，整性地图不完整（需核实：搜索关键词 Laurent phenomenon coefficients Gale-Robinson integrality generalization）。丘奖相邻获奖论文：2022 金奖《Crystals arising from the representations of quantum groups in the Gelfand-Tsetlin basis》与 2025 银奖《Standard modules of the Temperley-Lieb algebra at zero》表明代数类高上限题在本赛道有金/银奖先例（但多有强导师背景——这正是本题设选择前提的原因）。
空白在：参数空间的系统整性扫描（大整数精确计算，笔记本完全可行）+ "整性但未被已知定理覆盖"实例的甄别，未见公开的完整地图；这类地图本身就是对理论边界的有效探测，严格证明部分可从"可归约到已知簇代数结构的子族"切入。
3 · 可检验假设
- H1：参数范围 N₀ ≤ 8, a, b ≤ 5 内，整性(前 500 项全整)与已知 Laurent 现象判据的覆盖完全吻合——或存在有限清单的"超出已知判据仍整"的例外参数点。
- H2：例外点（若存在）中至少一个子族可通过变量替换归约到已知 LP 代数结构，从而获得严格整性证明。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：大整数递推管线先复现文献锚点——Somos-4/5/6/7 前 2000 项全整、Somos-8 首个非整数项位置与文献记载一致（位置第 3 周核实写死）。不过关则全线无效。
- 扫描交付：参数盒内全部点的整性判定表（前 500 项，精确有理算术），附首个非整项位置分布。
- 甄别交付：每个整性参数点标注"已知定理覆盖 / 未覆盖候选"，判据引用到定理级。
- 证明交付：至少一个此前未被明确覆盖的子族的严格整性证明（归约或直接 Laurent 性论证）；做不到时按第 8 块降级。
- 统计口径：整性判定不用浮点;"前 500 项整"明确标注为整性的必要证据而非证明，论文中不得把扫描结论写成定理。
- 代码与全部序列数据开源，一键复跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 精确有理递推 | Python Fraction / gmpy2（pip） ，项的位数指数增长,500 项内笔记本可行 |
| Laurent 性符号检验 | SymPy 多项式环（对小 N₀ 直接验证前若干项是初值 Laurent 多项式） |
| 理论判据 | Fomin–Zelevinsky《The Laurent phenomenon》与 LP 代数论文（arXiv 免费；第 3 周精读并提炼可操作判据） |
| 序列锚点 | OEIS Somos 序列条目（A006720 等，仅校验，不计入贡献） |
| 算力量级 | 全扫描约 10³–10⁴ 参数点 × 500 项大整数运算，笔记本数天，纯 CPU |
6 · 方法路径
- 建精确递推管线，完成第 4 块第 1 条锚点复现。
- 精读 Laurent 现象判据，写成机器可查的参数条件表（能力边界核实步，决定"已覆盖"的判定线）。
- 全参数盒整性扫描，产出整性地图与例外候选清单。
- 对例外候选做符号 Laurent 性验证（前 10–20 项符号展开），筛掉偶然整性。
- 选最有结构的候选子族，尝试变量替换归约证明；每两周与指导老师复盘一次证明路线。
- 独立交叉校验：例外点用 gmpy2 与 Fraction 两套算术复算；写清"定理/计算证据"边界成文。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称重建 Laurent 现象理论，不把 Somos-4..7 与标准 Gale–Robinson 的已证整性计入贡献，扫描结论不升格为定理表述。
- 已有工作：Fomin–Zelevinsky Laurent 现象;Gale–Robinson 整性;LP 代数框架(以上第 3 周核实精确定理陈述)。丘奖相邻获奖论文：2022 金奖(量子群晶体)、2025 银奖(Temperley–Lieb)同属高阶代数题材但对象不同——本题差异：对象是递推整性地图与其边界，方法是"精确计算探索 + 归约证明"，不需要表示论机器。
- 本项目贡献（主结论）：三项变形族的整性地图(计算，系统性首份)+ 例外子族的严格证明(若达成)或例外候选的结构刻画(降级)。
- 价值：为理论边界提供可复核的实验地图；任何"未覆盖仍整"的确认实例都指向可发表的理论问题。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：锚点复现 + 判据表完成。判据读不懂(两次复盘无进展) → 全题降级启动：转为纯地图交付(扫描 + Somos-8 型失整位置统计)，仍是自足的计算数学小论文，但优先级降为练习项目，建议改选 T06/T08 为主课题。
- 第 12 周末：扫描完成。若例外候选为空(已知判据完全覆盖) → 结论转为"判据在该参数盒内是紧的"——这是有效负结论，主结论框架(整性地图 + 边界刻画)不变；扩大参数盒一档再确认。
- 第 30 周末：归约证明若无实质进展,降级路径：主结论 = 整性地图 + 例外候选的符号 Laurent 验证(前 20 项) + 明确的猜想陈述；论文定位改为"计算探索 + 部分证明"形态并如实标注。
- 双保险要求：选本题的学生必须同时以 T06 或 T08 作为低风险备份课题推进至第 12 周，再做二选一决断。
- 预算裁剪顺序：参数盒规模 → 符号验证深度；锚点复现与"定理/证据"边界表述不可砍。