三元减法游戏的 Grundy 序列：周期性定理与未解八进制游戏的计算推进

来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。

1 · 研究问题

对减法集 S = {a, b, a+b} 型三元减法游戏（subtraction game），其 Grundy 序列的周期与预周期能否作为 a, b 的显式函数完整确定并证明？在此之外，对 1–2 个仍未解的八进制游戏（octal game），Grundy 值计算能否在已发表记录基础上实质延伸并报告新的稀疏空间现象？

2 · 研究背景与空白

减法游戏与八进制游戏是组合博弈论的基石对象：玩家从 n 个棋子中按规则取子，Sprague–Grundy 定理把每个位置映为一个 Grundy 值，先手必败当且仅当 Grundy 值为 0。有限减法集的减法游戏 Grundy 序列最终周期化是经典定理；二元减法集 {a, b} 的周期结构已完全解决（收录于《Winning Ways》与后续文献）。八进制游戏的周期性猜想（Guy 猜想）总体开放，若干具体游戏（如 0.106）已通过大规模计算找到周期，另一些（如 Grundy's game）计算了极长前缀仍未见周期（需核实当前记录：搜索关键词 octal games Grundy values records Flammenkamp）。

已有工作：二元减法集完全解决；三元减法集有部分族的结果但未见完整分类（需核实：搜索关键词 three element subtraction game Grundy periodicity classification）；未解八进制游戏的计算记录集中在 2000 年代的专用页面，近年更新少。丘奖相邻获奖论文：2024 优胜奖《Make24: Bounding the Generalised Form of a Numbers Game》与 2021 优胜奖《A Study of Error Correcting Code Using Impartial Games》均为组合博弈题材，说明评委接受该领域。

空白在：{a, b, a+b} 族的周期结构未见系统定理，而该族的 Grundy 序列可先大规模计算、归纳出周期公式、再用有限验证 + 归纳法把证明闭合（减法游戏的周期性证明只需检查一个长度为周期+最大减数的窗口，天然"计算辅助证明"且完全严格）。适合学生：证明技术初等、计算便宜、公式对/错都可判定。

3 · 可检验假设

• H1：S = {a, b, a+b}（gcd(a,b)=1, a<b）的 Grundy 周期为 a+b 的显式倍数，周期与预周期在 (a, b) 的有限分类下有统一公式，对 a+b ≤ 40 全部机器验证成立。
• H2：所选未解八进制游戏在延伸计算范围内 Grundy 稀有值密度延续已报告的稀疏空间（sparse space）趋势（不出现新的常见值），该趋势的定量刻画构成计算证据部分。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：Grundy 计算器先复现已发表结果——(a) 二元减法集 {a,b} 的已知周期公式在 a+b ≤ 30 全部吻合；(b) 一个已解八进制游戏的已发表周期/预周期精确复现（具体游戏与数值第 3 周核实后写死）。不过关则全线无效。
2. 定理交付：{a, b, a+b} 族的周期/预周期公式 + 完整证明（周期性验证窗口法，附机器可复核的窗口检查）。
3. 计算交付：未解游戏 Grundy 值计算至 ≥ 10⁹ 位置（位打包 + 增量 mex 优化），报告稀有值统计与出现位置表。
4. 性能口径：报告每 10⁸ 位置的墙钟时间与内存占用，第三方可按硬件折算复现。
5. 代码开源，断点续跑，输出带校验和。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
Grundy 长程计算	自写 C/Rust 位打包实现（mex 计算用滑动窗口位集）；Python 原型先行
已解游戏对照	八进制游戏记录页面与文献（需核实 URL 与数值；仅校验，不计入贡献）
二元减法集公式	《Winning Ways for Your Mathematical Plays》（图书馆/二手可得）+ 公开讲义
序列对照	OEIS 相关 Grundy 序列条目（仅校验）
算力量级	10⁹ 位置约数 GB 内存以内（4 bit/值打包）、笔记本数天；纯 CPU

6 · 方法路径

1. 写 Python 原型 Grundy 计算器，完成第 4 块第 1 条两项复现。
2. 用 C/Rust 重写核心循环，验证与原型在 10⁷ 内完全一致（能力边界核实步：确认笔记本可达 10⁹）。
3. 扫描 {a, b, a+b} 族 a+b ≤ 40 的周期表，归纳周期/预周期公式与分类。
4. 用"窗口检查 + 归纳"把每类公式证明闭合，机器输出窗口验证记录。
5. 对未解游戏跑长程计算，统计稀有值密度曲线。
6. 独立交叉校验：两套实现（Python/C）在随机抽取的 10⁴ 个位置上复核一致；公式与全部扫描数据零偏差。

7 · 新颖性边界

• 本课题不声称解决 Guy 周期性猜想，不把二元减法集的经典公式计入贡献，未解游戏若在延伸范围内仍未见周期也不声称"该游戏无周期"。
• 已有工作：二元减法集完全解决（经典文献）；已解八进制游戏的周期记录（第 3 周核实具体游戏、数值与计算者）；三元减法集已有部分结果（需核实覆盖范围，若 {a,b,a+b} 已被完整解决则换参数族 {a, b, 2a+b}，框架不变）。丘奖相邻获奖论文：2024《Make24: Bounding the Generalised Form of a Numbers Game》（数字游戏的界）、2021《A Study of Error Correcting Code Using Impartial Games》（无偏博弈应用）——本题差异：对象是减法/八进制游戏的 Grundy 周期结构，交付含完整分类定理。
• 本项目贡献（主结论）：{a,b,a+b} 族周期结构的分类定理（严格证明）+ 未解游戏的计算记录延伸与稀疏空间定量刻画（计算证据，明确标注）。
• 价值：定理部分自足且可机器复核；计算部分为社区提供带校验和的可复现记录。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 3 周末：核实三元减法集文献覆盖与未解游戏当前记录。若目标族已解决 → 换 {a, b, 2a+b} 或 {a, b, b−a} 族，管线不变。
• 第 6 周末：硬门槛两项复现通过；C 实现速度 ≥ 10⁷ 位置/分钟，未达则优化数据结构（此为工程门槛，连续 3 周未达则把计算目标从 10⁹ 降到 10⁸，定理部分不受影响）。
• 第 16 周末：族扫描完成。若归纳不出统一公式（分类爆炸）→ 降级路径 A：只对 a = 1, 2 两个子族证明完整定理（仍是严格结果，框架不变）；降级路径 B：把主结论改为"周期表 + 已证子族 + 反常参数点的结构分析"。
• 预算裁剪顺序：未解游戏计算线 → 族扫描上限 a+b ≤ 40 降到 ≤ 30；定理主线不砍。

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