平面格键渗流临界概率的严格界：替代法的独立实现与可复现改进尝试 【高风险高上限】

来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。

选择前提：仅当学生已理解渗流基本概念（可从公开讲义自学）、能写高性能位运算代码、且明确接受"最终可能只交付复现研究"时才启动。上限：任何一条被收紧的严格界都是可写入文献记录的结果。

1 · 研究问题

对临界概率 p_c 无精确解的平面格（首选 kagome 格的键渗流），用替代法（substitution method）能否独立复现文献中已发表的严格上下界？在笔记本算力内扩大替代区域后，现有严格界（需核实当前最好数值）能否被收紧哪怕 10⁻³ 量级？

2 · 研究背景与空白

渗流理论问：随机保留每条边（概率 p）后无穷连通簇何时出现？平面格中少数格因对偶/星三角变换有精确解（方格键 p_c = 1/2 由 Kesten 证明；三角/六角键 p_c 为三角方程根），kagome 等格没有精确解，只有两类结果：非严格的高精度数值估计（约 0.5244，需核实）与严格上下界——后者主要由替代法给出：把目标格与一个 p_c 已知的参照格在有限区域上比较连通函数，区域越大界越紧，代价是区域边界分割的配分格（partition lattice）规模急剧增长。这是"数学严格性 + 大规模组合计算"的典型交叉，算力瓶颈在组合枚举而非浮点，纯 CPU 可做。

已有工作：替代法的奠基与对 kagome 等格的多轮收紧（需核实：搜索关键词 Wierman substitution method kagome bond percolation rigorous bounds；当前最好区间数值一并核实）；非严格估计来自转移矩阵/蒙特卡洛。丘奖相邻获奖论文：2021 优胜奖《Lower Bound of Bernoulli Percolation in the Critical Phase》——直接同领域，说明渗流严格界题材已在本赛道出现过。

空白在：已发表界的独立可复现实现（原实现多为私有代码）本身在计算数学口径下是被承认的贡献；且替代法的界随区域单调改善，任何在笔记本算力内可行的更大区域都可能给出新的严格数字。风险：配分格组合爆炸可能把"更大区域"堵死——因此降级路径落在复现与方法论上。

3 · 可检验假设

• H1：替代法管线可独立复现文献中 kagome 键渗流的一组已发表严格界至末位数字一致。
• H2：在笔记本 7 天算力预算内，存在一个比该文献所用更大（或形状更优）的替代区域，使上界−下界区间宽度缩小 ≥ 5%。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：管线先在有精确解的格上闭环——用替代法比较方格与三角格，产出的严格界必须把已知精确值（1/2 与 2sin(π/18)）夹在内且与文献同型计算的报告值一致（具体对照案例第 4 周核实选定）。不过关则全线无效。
2. 复现交付：kagome 键渗流已发表严格界的独立复现，逐步中间量（连通函数分解系数）与可比文献数据对齐。
3. 改进交付（目标线）：新区域下的新严格界，附完整的可复核计算日志与区间算术误差控制（浮点比较全部替换为有理/区间算术）。
4. 计算可信度：配分格枚举用两套独立实现（自写 + SageMath set partitions）抽样互证；全部关键比较用精确算术。
5. 蒙特卡洛估计仅作参照曲线，明确标注"非严格、不计入结论"。
6. 代码开源，断点续跑，7 天预算硬上限写入协议。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
替代法理论	原始论文系列（arXiv/期刊，第 2–4 周精读；需核实清单）
组合枚举	自写位运算枚举边子集 + 连通性 union-find；C/Rust 核心
配分格运算	SageMath SetPartitions（对照用，不计入贡献）
精确算术	Python Fraction / FLINT via python-flint（多项式系数精确）
非严格参照值	已发表数值估计（仅参照，不计入结论；需核实数值与出处）
算力量级	区域内边数 E 的 2^E 枚举是主开销；E ≤ 30 笔记本可行（10⁹ 级），E 每 +1 翻倍——这就是本题的硬墙，如实写入论文

6 · 方法路径

1. 精读替代法论文，在方格/三角格对照案例上实现最小闭环，完成第 4 块第 1 条硬门槛。
2. 实现 kagome 替代区域的连通函数精确枚举（位运算 + 对称性约化），复现已发表界。
3. 能力边界核实：测量枚举性能曲线，确定 7 天预算内可达的最大区域尺寸。
4. 枚举候选区域形状（同边数下形状影响界的紧度），跑改进尝试。
5. 全部比较用精确算术重验；产出最终界与误差控制说明。
6. 独立交叉校验：抽 100 个随机边子集手工/Sage 复核连通性分解；蒙特卡洛曲线一致性检查（仅参照）。

7 · 新颖性边界

• 本课题不声称给出 kagome p_c 精确值（公认难题），非严格数值估计不计入结论，已发表界与替代法本身不计入贡献。
• 已有工作：替代法理论与 kagome 界的多轮收紧（第 4 周核实到数值末位）；精确解格的经典定理（Kesten 等）。丘奖相邻获奖论文：2021 优胜奖《Lower Bound of Bernoulli Percolation in the Critical Phase》（临界相下界研究）——本题差异：该文做临界相内的下界分析，本题做无精确解格的 p_c 严格区间的复现与收紧，方法（替代法 + 精确枚举）不同。
• 本项目贡献（主结论）：(a) 已发表严格界的首个公开可复现实现（方法学贡献，定位清楚则被计算领域承认）；(b) 若达成——新的更紧严格界（主结论升级）。
• 价值：严格界是"永久性"数学结果；即使止步复现，公开实现也让该子领域的结果第一次可被第三方一键检验。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 4 周末：方格/三角格闭环硬门槛。未过 → 停，连续 3 周未过则放弃本题转备份课题（见双保险要求）。
• 第 10 周末：kagome 已发表界复现成功为 go/no-go 主闸：复现失败且差异无法定位 → 降级路径 A：课题转为"替代法在精确解格上的教学级完整实现 + 性能标度研究"（自足但显著缩水，需与老师评估是否转题）。
• 第 24 周末：改进尝试若在预算内无任何区域给出更紧界，降级路径 B：主结论 = 独立复现 + "区域尺寸–界紧度–算力"三方标度律的首份定量刻画（方法论贡献，保留严格界框架）。
• 双保险要求：选本题必须同时推进 T12 或 T13 作为备份至第 10 周决断点。
• 预算裁剪顺序：候选区域形状数 → 蒙特卡洛参照 → 第二种参照格；精确算术与硬门槛不可砍。

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