落球撞击颗粒床的成坑直径-能量标度:1/4 幂律在弹体密度与床压实度维度上的检验

来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。

1 · 研究问题

小球低速撞击松散颗粒床形成的坑径 D_c 是否服从已发表的能量 1/4 幂律 D_c ∝ E^(1/4)(Uehara et al. 2003)？该指数在弹体密度(钢/玻璃/木)与床压实度(松装 vs 振实)改变时是否漂移，漂移方向能否由量纲分析的 π 组合预判？

2 · 研究背景与空白

行星表面撞击坑的直径-能量标度无法在实验室全尺度复现，但低速颗粒撞击提供了受控类比:Uehara, Ambroso, Ojha & Durian(2003, PRL)测得松散玻璃珠床上坑径 D_c ∝ E^(1/4)、坑深另有独立标度，并指出该指数可由能量-重力标度的量纲分析合理化(与行星撞击的重力区标度联系)。该文成为颗粒撞击的标准参照，后续文献扩展了弹体与床的参数(覆盖程度需核实：搜索关键词 "granular impact crater scaling projectile density packing fraction")。

空白在于参数维度的同口径覆盖：床压实度(体积分数)是理论上应进入 π 组合、实验上又最难控制的变量，系统数据分散。本题的理论侧(π 定理推导可能的标度族、并指出各机制区的判别量)与实验侧(可控扫描)恰好构成一年期的完整闭环；指数漂移与否均为有效结论。

3 · 可检验假设

• H1：松装玻璃珠床 + 钢球的 D_c–E 幂律指数为 0.25 ± 0.02(95% 置信区间覆盖 0.25)，复现 Uehara et al. 基准。
• H2：振实床(体积分数提高 ≥ 3 个百分点)的指数不变但前置系数显著减小(坑更小)；弹体密度进入前置系数而非指数。任一"指数漂移 > 0.03"的观测都构成对纯能量-重力标度的有效偏离证据。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验(硬门槛)：重跑已发表算例——在与 Uehara et al. 2003 尽可能一致的工况(松散玻璃珠、密实球、低速)下复现指数 0.25，偏差 ≤ 0.02；坑径测量的双人独立测量一致性 ≤ 5%；像素标定误差 ≤ 1%。此条不过关，后续全部结论无效。
2. 统计口径预先写死：指数用对数空间最小二乘为主 + Theil–Sen 稳健回归交叉 + 对次重抽自助法 ≥1000 次置信区间;E 覆盖 ≥ 1.5 个数量级(落高 5 cm–2 m,≥ 8 档)；每档 ≥ 10 次。
3. 床制备规程写死：松装用"筛雨法"(固定筛高缓慢撒落)，振实用固定次数敲击；每次撞击前重新制床；体积分数每 10 次实测一次(称重/体积)，批内波动 ≤ 1%。
4. 坑径判据写死：侧光俯拍，坑缘取环形亮暗边界的拟合圆直径；附判据示例图。
5. 低速条件核查：弹体入射速度(√(2gH) 与 240 fps 视频抽查一致 ≤ 3%)且远低于颗粒声速，标注适用区。
6. 可复现性：全部俯拍原图 + 测量脚本 + 数据表开源。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
颗粒床	玻璃珠(0.3–0.5 mm，工艺品店/淘宝,~3 kg,<60 元)或过筛干沙；容器直径 ≥ 10 倍最大坑径
弹体	钢球/玻璃球/木球各 ≥ 2 个直径(1–2.5 cm),<30 元
释放与成像	电磁铁或机械夹释放(定高，无初速)；手机俯拍 + 侧光台灯;240 fps 抽查入射速度
理论对照	Uehara et al. 2003(PRL)的指数与工况,仅用于校验与对比，不计入本项目的数据贡献
分析	Python + OpenCV(圆拟合)+ scipy；纯 CPU 秒级

6 · 方法路径

1. 搭装置，完成标定、双人一致性与筛雨制床规程(验收 1 准备)。
2. 基准工况复现 Uehara 指数(验收 1)。
3. 理论推导:π 定理列出无量纲组合，写出能量-重力区预期与可能偏离机制(书面推导入报告)。
4. 正式扫描:2 压实度 × 3 弹体密度 × 8 能量档 × 10 次。
5. 拟合矩阵(指数 + 前置系数)与自助法置信区间，检验 H2。
6. 核实边界：容器尺寸效应——最大能量档换大容器复测 2 档，边界影响 ≤ 2%。
7. 独立交叉校验：对基准工况用坑深-能量独立标度(Uehara 文中另一关系)复核数据自洽。

7 · 新颖性边界

• 本课题不声称发现颗粒坑标度(Uehara et al. 2003 已发表)，不声称直接外推到行星撞击(类比仅作背景，标注为定性联系)。
• 已有工作：基准指数 + 若干参数扩展(覆盖需核实)。
• 本项目贡献(主结论)：压实度 × 弹体密度矩阵的同口径指数/系数分解 + 公开原始图像数据集。属"参数维度补全"，与 T03 同类定位，但本题以量纲分析推导为理论主轴(D 族属性)。
• 价值:"压实度只进系数不进指数"若成立，是对能量-重力标度稳健性的干净支持；若指数漂移，偏离机制(如塑性耗散占比变化)即为讨论主线。误差棒设计保证能分辨 0.03 的指数差。
• 核对获奖清单：颗粒类相邻获奖同 T03(Boycott 2022、沙画 2023)；行星类比相邻题 "Geosynthetic-Reinforced Soil in Martian Simulant"(2025 优胜)为土工结构强度，与撞击标度无重叠。本赛道无成坑课题。

8 · 决策门槛(go / no-go)

⚠️ 第 4 周末：双人坑径一致性与制床重复性达标(体积分数批内 ≤ 1%)。不达标先改测量/制床规程，不许进数据生产。 ⚠️ 第 7 周末：基准指数复现达标(±0.02)。若系统偏离(常见原因：颗粒过湿、床太浅 < 10 倍弹径、容器太小)，逐项排除；若确认无法复现,降级：放弃对接文献绝对值，改为"自建体系内的压实度/密度对照"(内部一致比较)，标度检验框架保留，但须在报告中如实说明与 Uehara 工况的差异清单。 ⚠️ 已知困难定位：静电(干燥玻璃珠)与湿度是隐藏变量——全程记录湿度，雨天不采数；把"湿度敏感性"做成附录小实验。 ⚠️ 预算裁剪：弹体密度档从 3 减到 2；压实度两档不可砍(H2 主判别)。

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