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P15

瓶子排空的"咕咚"振荡：以孔径–黏度–气腔柔度三轴扫描检验气弹簧模型的周期与排空时间标度

标签：优先级:中高 · 桌面实验/两相流-声学族 · 预算档位:≤500元 · phyphox+压强传感器 · 技能取向:信号处理+机理检验

1 · 研究问题

倒置瓶经底孔排水时的"咕咚"（glug-glug）振荡周期 T 与总排空时间 Te，是否满足 Clanet & Searby（J. Fluid Mech. 510, 2004）的标度 Te/Te0=(D0/d)5/2（D0 为瓶径、d 为孔径）？进一步：人为增大顶部气腔的柔度（接入刚性副气室）时，振荡频率是否按"气体压缩性 = 弹簧"模型预言的 f∝ 1/√(Vgas) 移动——这是对机理的因果检验而非拟合检验。

2 · 研究背景与空白

倒置瓶排液是气液交替通过孔口的自激振荡：液柱下落使顶部气腔膨胀降压，直至气泡从孔口上吸补气，周而复始。Clanet & Searby (2004) 把它建为"气腔弹簧 + 液柱质量"振子，给出周期与排空时间标度并在一个数量级孔径范围内验证；Mer 等（2019）用压强测量细化了两相流细节；Kohira 等研究了"塑料瓶振荡器"的开关型振荡与双瓶耦合同步。即：模型与主标度均已发表。

空白在：已有实验均在固定气腔构型下做参数拟合；通过外接副气室直接操纵"弹簧常数"做因果检验，以及黏度轴（水–甘油）对周期与标度指数的影响，未见系统报道（Clanet 明确限于低黏度极限）。孔径与副气室改造仅需瓶盖钻孔与软管，正负结论均有效。

3 · 可检验假设

  • H1：Te–d 双对数拟合指数为 −2.5 ± 0.2（95% CI），覆盖 d = 4–25 mm。
  • H2：接入副气室使有效气体体积 Vgas 增至 2×、4× 时，振荡频率按 f∝ Vgas-1/2 下移，实测指数 95% CI 含 −0.5；若黏度增至 20 倍（甘油水溶液）后指数显著偏离 −2.5，则记录偏离进入高黏修正讨论。

4 · 量化验收标准

  1. 方法学校验（硬门槛）：无孔限制的敞口圆筒排空时间与 Clanet 参考值 Te0≈3.0 L/√(gD0) 偏差 ≤ 10%；MPX5010 压强传感器用水柱压强计五点标定，偏差 ≤ 2%。不过关则全部数据无效。
  2. 振荡频率双通道测量：phyphox 音频谱（咕咚声计数）与气腔压强时序（Arduino ≥ 100 Hz 采样）各自给 T，两法差 ≤ 3% 方采纳；每条件重复 ≥ 8 次。
  3. 指数拟合：ODR + Theil–Sen 交叉验证 + bootstrap 95% CI；孔径 ≥ 7 档且跨度接近一个数量级；温度记录（水温影响黏度与气体状态，±2 ℃ 内有效）。
  4. 误差源量化：孔口毛刺（钻孔后统一倒角，孔径用游标卡尺三向测量取均值 ±0.05 mm）、初始液面高度复现（±2 mm）、瓶壁形变（选硬质瓶并压强下检查形变 < 1%体积）。
  5. "黏度轴差异不显著"是有效结论，但须证明误差棒能分辨 10% 的周期移动。
  6. 原始音频、压强时序与脚本全部开源。

5 · 数据与工具（含器材清单与估价）

用途 来源 / 工具 估价
硬质广口瓶/亚克力圆筒（D0≈80 mm）+ 可换孔板瓶盖 ≥ 7 档 淘宝 + 创客室钻孔 ≈150 元
MPX5010DP 压强传感器 + Arduino Nano + 软管三通 淘宝 ≈70 元
副气室（500/1500 mL 硬质瓶各一，接头阀门） 淘宝 ≈60 元
甘油 2.5 L（配 20–60% 水溶液）+ 温度计 淘宝 ≈90 元
phyphox（音频谱/秒表）、Tracker（液面下降辅助） 免费 0 元
对照基准 Clanet & Searby 2004 标度、Mer 2019（仅校验对比，不计入贡献） —

合计约 400–500 元。安全：甘油无毒；钻孔操作戴护目镜。

6 · 方法路径

  1. 搭装置，完成敞口排空基准与压强标定（第 4.1 条）。
  2. 双通道频率测量一致性核查（第 4.2 条），确定 SOP。
  3. 水介质扫孔径 7 档，拟合 Te(d) 与 T(d)。
  4. 固定中档孔径，接副气室扫 Vgas 三档，检验 f∝ Vgas-1/2（H2 前半）。
  5. 换 3 档甘油浓度重复孔径扫描（可减为 5 档），检验指数漂移（H2 后半）。
  6. 独立交叉校验：用称重法（瓶下接秤）测排空质量流量曲线，与压强/音频推算的周期结构比对。
  7. 视频：排空全程正拍 + 孔口气泡 240 fps 慢动作（局限：泡界面细节仅定性）、压强曲线屏幕同框；成片 ≤ 3 min。

7 · 新颖性边界

本课题不声称发现咕咚振荡或其标度——(D0/d)5/2 律与气弹簧模型均为 Clanet & Searby (2004) 已发表结论；双瓶耦合同步也已有工作（Kohira 等）。丘奖历届有 2021 优胜 "Dynamic Stabilization of Water Bottles"（晃瓶行走稳定性）与 2023 铜奖 pop-pop 船（气腔两相振荡引擎），后者与本题共享"气腔弹簧"要素但对象为推进器件——均须点名。本项目主结论是：(i) 标度指数的独立复测；(ii) 副气室操纵下的机理因果检验——这是从"拟合一致"升级为"干预一致"的评价维度转换；(iii) 高黏区偏离的定量记录。频率若不按 Vgas-1/2 移动，即构成对气弹簧图像的有效反例，两种结果都成立。

8 · 决策门槛（go / no-go）

  • 第 4 周末：敞口基准偏差 > 10% 或双通道频率不一致 → 排查瓶口涡流与传感器气路密封；2 周不过则频率只用压强通道并加大重复数。
  • 第 9 周末：同条件周期 RSD > 8% → 降级路径 A：放弃黏度轴，专做水介质"孔径 + 副气室"两轴，主结论（标度复测 + 因果检验）不变。
  • 第 18 周末：副气室接入后若振荡直接熄灭（进入连续流态）→ 把该现象转正为研究内容：测"振荡–连续流转变"的临界 Vgas(d) 边界，仍在气弹簧框架内讨论，属降级路径 B。
  • 预算裁剪顺序：先砍甘油（−90 元，删 H2 后半），再减孔径至 5 档（CI 变宽，框架不变）。