M165–83
H tower 的层级收益在第几层饱和
框架ISEF 2026 的获奖工作构造了一个无穷层级的虚拟纽结不变量（H tower，H^n）。这个层级每升高一层，分辨能力实际增加多少？在第几层之后收益不再抵得上计算代价？
你自己的那一点原作构造了层级并说"计算表明高阶不变量更强"，但没有给出层级—收益曲线。你在 Green 表的完全枚举集上逐层计算：H^1、H^2、H^3 各自新分辨出多少对此前无法区分的纽结，以及每层的计算耗时如何增长。产出是一条"用到第几层划算"的实用判据——这是原作留下的问题，不是与它竞争。
擦过的已有工作： ISEF 2026 的 MATH011T（Grand Award + Special Award）"Split Elevation and H Tower for Virtual Knots"：指出已有 H_MJ 多项式的结构缺陷（基多项式取零时丢失交叉信息），提出 Generalized H 多项式，证明 Split Elevation 定理（可从任意平坦虚拟纽结不变量产生更强的不变量），并引入 flatization 使 H 可递归自输入，得到无穷层级 H^n。摘要原文写 *"we construct enhanced invariants that distinguish knots previously indistinguishable by earlier tools"*。
所以：造新不变量非但没封死，它刚刚拿了 Grand Award；而且"分辨能力比较"也已作为该工作的验证环节做过一部分。 剩下的空白是层级的边际收益，不是分辨能力本身。
另注：ISEF 2026 的 MATH034（Grand Award） 做 quandle 检测因果性，该方向两年内已被三批人做过（arXiv:2310.06853 → 2508.18323 → 2509.03544），不要走进去。
约束条件：可辩护性。 你必须真的算得动 H^2、H^3——层级越高计算量增长可能极快。最便宜的规避方式：开题第一周先在小规模（4 交叉以内）上把 H^1→H^2 跑通并计时，用实测增长率反推能推到第几层，推不动就把上限本身作为结论报告。
产出性质： 计算证据。必须写明算到第几层、以及下一层为什么算不动。
M274–84
窄图类上的极值问题
框架在一个受限的图类上确定某个图参数的极值，用专用生成器穷举到通用工具达不到的阶数。
你自己的那一点核查确认 ISEF 两届 80 个数学项目中零同题。而算力边界很清楚：McKay 的全图表止于 n=10（1200 万个图，笔记本硬顶），n=11 是十亿量级、不可行。所以空间不在通用生成器 geng，而在为你的特定图类写专用生成器——这正是"你自己的那一点"：生成器的设计是你的。
约束条件：可辩护性。 你必须能解释为什么专用生成器是正确的（不重不漏）。最便宜的提升方式：在小阶上与 geng 的结果交叉验证，把一致性作为正确性证据。
产出性质： 计算证据 + 猜想。必须明确写出穷举到第几阶、以及为什么更高阶不可行——不写清楚会被追问。
M368–86
OEIS 中缺失渐近的序列
框架从 OEIS 里挑一条标注 more（需要更多项）但不标注 hard 的序列，给出闭式或渐近。
你自己的那一点核查实测 OEIS 有 398,111 条序列。机会池的正确定义是 more 且 非 hard——不是很多人以为的 more ∧ hard（那是 7,357 条，且"hard"的字面含义就是算不出更多项，你也算不出）。在正确的池子里挑，才有可能是"没人顾上"而不是"没人做得到"。
擦过的已有工作： ISEF 2025 的 MATH022（Universal Digit Matrix for Generalized Binomials） 等组合恒等式类获奖项目。
约束条件：原创性风险。 最常见的陷阱是"其实已在某篇 1970 年代论文里"。最便宜的提升方式：选定序列后，先把 OEIS 条目下的全部参考文献读完，再查该序列的别名。
产出性质： 定理（若成功）。这是本类目里唯一可能产出干净定理的一条。
M468–86
Pólya 计数与晶体学等价的不一致
框架同一批立方晶胞取代构型，用点群 Pólya 计数、和用含平移的空间群等价归约，得到的"不同构结构数"一致吗？不一致时差在哪类构型上？
你自己的那一点ISEF 2025 MATH038 用 Pólya 定理对简单立方/体心/面心晶胞给出了生成函数与具体数字（等量二取代基的面心立方是 102 种）。但晶胞不是分子——晶体的等价关系里还有平移。 你做的是：把同一批晶胞的全部着色暴力枚举，按空间群操作归约，与点群 Pólya 计数逐项对照，指出二者在哪类取代基分布上分岔。之前没人做的具体理由：这要求把群论枚举与晶体学对称性两套语言接起来——做 Pólya 的人默认点群够用，做晶体学的人不用生成函数。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH038（Special Award） "Pólya's Enumeration Theorem and Cubic Unit Cells"，摘要明确写"此方法已用于化学立体异构体，但未用于晶胞"，并报出 102 与 554 两个具体数。摘要中未见对平移对称性的任何处理——这是你的入口。
约束条件：可辩护性。 死法是你算出的差异其实来自定义口径不同，而不是数学内容。最便宜的规避方式：先把两种等价关系各写成一个明确的群作用，用 Burnside 引理分别算一遍，差异就自动变成可陈述的结论。开题前查一次 arXiv 与晶格着色计数文献（colouring of lattices / space group enumeration）。
产出性质： 计算证据 + 小定理。穷举规模：简单立方 8 点、体心 9 点、面心 14 点，取代基种类 ≤3 时着色数 ≤ 3^14 ≈ 480 万，笔记本分钟级；种类数再往上是指数爆炸，硬顶必须写出来。
M571–89
Minkowski 不可约集判据的覆盖率普查
框架已有的集合不可约性判据（稀疏/稠密渐近、素性测试、各种必要条件），在完全枚举的小集合表上各自能判定多少？哪一类集合上全部判据同时沉默？
你自己的那一点ISEF 2025 MATH019 报告它的素性测试能识别 6–18% 的素集合。"识别不了的那 82–94% 长什么样"是它没回答的问题。 你的贡献是把 {0,…,n} 的全部子集完全枚举，对每个集合用暴力 Minkowski 分解定出真值，再把各判据的判定率与失效集合画成一张覆盖地图。之前没人做的具体理由：真值必须靠暴力分解拿到，而暴力分解只在 n 很小时可行——这个窗口刚好落在笔记本硬顶内，且判据本身 2025 年才出现。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH019（Grand Award + Special Award） "Distribution and Structure of Irreducible Sets"：解决 Geroldinger–Tringali 的四年猜想，证明稀疏集合大概率不可约、稠密集合反之并给出精确渐近，构造出识别 6–18% 素集合的素性测试。摘要报告的是判定率数字，未见对"判据失效集合"的结构刻画。 学术前作：Kim–Roush (2005) 的集合分解密码系统（摘要中点名）。
约束条件：可行性（F）。 真值的暴力分解带 NP 味，n 每加 1 代价翻倍。最便宜的规避方式：把 n 的上限当实验参数而非目标，先在 n ≤ 14（16,384 个子集）跑通全流程再往上推；实测的时间—规模曲线本身就是可交付内容。开题前必查 arXiv——这个级别的 Grand Award 通常有预印本，加性组合方向近两年很活跃。
产出性质： 计算证据 + 猜想。明确写出穷举到 n = 几、以及 n+2 需要多少倍时间。 退化路径：即使推不高，一张"哪类集合上所有已有判据同时失效"的表已可交付。
M670–88
灭火派遣最优策略在全图表上的普查
框架ISEF 2025 MATH004T 在四类特殊排列上解出了最优直升机派遣策略；把同一个随机过程放到 n ≤ 9 的全部连通图上完全枚举，哪些结构性结论还成立，哪些只是路与圈的巧合？
你自己的那一点MATH004T 的关键结论之一是"线性排列的最优灭火位置与房屋数无关"。这句话是对路图说的，它在一般图上什么时候垮没人验过。 你的贡献是：对每个图用"着火子集"上的动态规划算出期望派遣次数的精确值（n=9 时 512 个状态，毫秒级），在全图表上找出该结论失效的最小反例，并刻画失效图类的共同特征。之前没人做的具体理由：这个"目标房必灭、每个邻居 50% 概率被灭"的模型是 MATH004T 2025 年自己定义的，全图表交叉是最直接却还没人踩的下一步。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH004T（Special Award） "Optimal Strategy for Firefighting Dispatches"：用递推关系、复数与特征多项式解出线性、圆形、T 形、圆带尾四类排列并给出各自的生成函数，摘要明确说"完全解决了上述四种情形"，一般图未提及。 学术侧有经典 Firefighter Problem 文献，但那是确定性模型，与此处的随机熄灭模型不同——这一点必须自己核实，不要照抄本条的判断。
约束条件：原创性风险。 最可能的死法是这个随机模型其实等价于文献里某个已知过程（概率性 domination、randomized graph burning 之类）。最便宜的规避方式：开题第一周先把模型写成标准记号，用它去搜文献，搜不到再动手。同时查一次 arXiv。
产出性质： 计算证据 + 定理（若能证明某图类上的最优策略）。穷举规模：连通图全表 n ≤ 9 是 261,080 个图，纯 Python 小时级可行；n=10 是 1,170 万个图，需要 C 实现或随机抽样，n=11 是十亿量级、笔记本不可行——与 M2 同一硬顶。
M768–86
Fermat–Torricelli 比的上下界间隙
框架α(P) 的上界已被推进到 1.3385；下界侧的最优已知构型能到多少？间隙随点数 |P| 怎么变，在哪个 |P| 上最窄？
你自己的那一点ISEF 2026 MATH027 把上界从一串前作改进到 1.3385，摘要通篇是上界推导，未报告任何下界构型的数值搜索。 你做的是另一侧：对 |P| = 3…12 做大规模随机重启 + 局部优化，用 Weiszfeld 迭代定位 Fermat–Torricelli 中心，报告每个 |P| 上能达到的最大 α 与逼近极值的构型族。你不是与它同题，是补它的另一半。之前没人做的具体理由：上界侧是纯不等式的手工作业，下界侧是数值优化，两侧的人不是同一批。
擦过的已有工作： ISEF 2026 MATH027（Special Award） "Improved Bound for the Fermat-Torricelli Ratio"（语料中该条的标题字段被记作 "Regeneron ISEF 2026"，真实标题见 slug math027-improved-bound-for-the-fermat-torricelli-ratio）：证明 α(P) ≤ 1.3385，引入 γ(P)=2D(P)/|P| 并用 Morgenstern 的结果与中心对称化推进。问题源于 Fekete–Meijer (2000)（摘要中点名）。
约束条件：可辩护性。 数值最优不等于真最优，评委会问"你怎么知道没漏掉更好的构型"。最便宜的规避方式：对 |P| = 3、4、5 给出解析的最优构型证明，把数值结果锚在已证的小情形上。开题前查 arXiv 与 Fekete–Meijer 的后续文献——下界侧很可能已有已知构型，你要做的是超过它而不是重新发现它。
产出性质： 计算证据（下界数值）+ 小定理（小 |P| 的解析最优）。规模：|P| ≤ 12、随机重启 10⁶ 次量级，笔记本小时级；|P| > 20 后优化景观的局部极小数目爆炸，置信度必须相应下调并写明。
M868–86
grid diagram 组合下界的适用边界
框架ISEF 2025 MATH031 给出了一个"哪类纽结能从 grid 图组合量得到足够高 slice genus 下界"的启发式；把它放到 KnotInfo 的完全表上，命中率是多少，在哪类纽结上系统性失效？
你自己的那一点MATH031 自陈提供的是 heuristic，不是判据。启发式的适用范围没被量化过。 你的贡献是：对 12 交叉以内的全部纽结逐个计算 grid index 与 Thurston–Bennequin 数给出的下界，与表中已收录的 Rasmussen s、τ、signature 下界横向比较——谁在多少个纽结上最紧，组合方法在哪个特征维度上系统性弱。之前没人做的具体理由：这个组合下界 2025 年才提出，横向比较要把它和四五种代数不变量放进同一张表，而那张表得自己拼。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH031（Special Award） "Slice Genus Bounds for Knots Using Grid Diagrams"：给出组合下界方法、恢复了环面纽结的 Kronheimer–Mrowka / Rasmussen 界，构造了 slice genus 趋于无穷的纽结序列（基纽结 16n196836）使全序列拓扑可切。摘要明确用了 "heuristic" 一词，未报告全表上的命中率。 与本文件 M1 的区别：M1 是虚拟纽结的分辨能力，这里是经典纽结的下界紧度，对象与问题都不同。
约束条件：意义（S）。 又是一张"谁比谁强"的表。最便宜的提升方式：找出至少一个"只有组合方法给出最优下界"的纽结并说清原因——这一条就把普查变成了发现。
产出性质： 计算证据。数据规模：KnotInfo 12 交叉全表（2,977 个纽结）现成可下，笔记本分钟级；13 交叉以上的 grid index 未被完全收录，这是数据硬顶不是算力硬顶——要写清楚区别。
M963–81
Mandelbrot 集 π 现象的参数点普查
框架π 已在 1/4 与 -3/4 两点被证明；把迭代计数实验推到边界上一批其他有理参数点（各周期分支点、Misiurewicz 点），π 在哪些点出现、以什么阶收敛、在哪些点根本不出现？
你自己的那一点ISEF 2025 MATH011T 完成了 -3/4 处的首个证明，并明确指出 -5/4 等点上的现象"既未被理解也未被证明"。它证的是点，没做的是普查。 你的贡献是一张参数点—收敛阶的实测表，以及从表里读出的"π 出现的必要条件"猜想（很可能与该点的抛物型/双曲型局部形态相关）。之前没人做的具体理由：普查需要任意精度算术——越靠近抛物点，发散基准越小、迭代次数越大、浮点误差越致命；mpmath 这类库让笔记本级普查刚好变得可行。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH011T（Special Award） "The Occurrence of Pi in the Mandelbrot Set"：给出 -3/4 处的首个证明，动机来自 Siewert (2023) 对 1/4 的几何证明，1/4 处的证明可追到 2001 年。摘要中未见对多参数点的系统扫描。
⚠️ 与本文件已有内容的冲突： M1 把"虚拟纽结相关获奖项目"记为 2025 MATH011T，但语料显示 2025 MATH011T 是本条的 Mandelbrot 项目，虚拟纽结项目是 2026 MATH011T（Split Elevation and H Tower for Virtual Knots，Grand Award + Special Award）。引用时以语料为准。
约束条件：可行性（F）。 精度需求随接近抛物点而爆炸，单点扫描可能吃掉几小时。最便宜的规避方式：先做小规模精度标定，把"要多少位精度才能看到 π 的第 k 位"拟合成经验公式，再据此分配算力。开题前查 arXiv（关键词 Mandelbrot set, parabolic parameter, iteration count asymptotics）。
产出性质： 计算证据 + 猜想。明确写出扫了多少个参数点、每点用了多少位精度、以及为什么更靠近抛物点的区域不可行。不要承诺新证明。
M1056–74
记忆长度优劣结论的支付参数相图
框架ISEF 2025 MATH028 在简单交互里得到"记忆越短越好"、在复杂交互里得到"记忆越长越好"两个相反结论；把支付矩阵与匹配规则当参数扫一遍，这两个结论各自占据参数空间的哪一块？
你自己的那一点MATH028 的两个结论都是在固定支付矩阵、固定交互设置下得到的。"结论翻转的分界在哪"没被问过。 你的贡献是：把 2×2 对称博弈的支付参数取成网格、匹配规则取成 round-robin / 复制者动力学 / Moran 过程三档，对 reactive-1/2/3 族算出各自的胜出区域，输出一张相图，并指出 MATH028 的两组实验分别落在哪个区域里。之前没人做的具体理由：需要把演化博弈的标准参数扫描与该项目的具体策略族接起来——两边各自成熟，交叉点没人踩。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH028（Top Award + Grand Award） "Memory and Selfishness in the Prisoner's Dilemma"：三步实验，step 1 中 reactive-1 胜过 reactive-3，step 2 中长记忆策略在复杂交互里最优，step 3 得出"利他与自私的混合最优"。摘要未报告任何支付参数的敏感性分析。
约束条件：原创性（O）——本条是备选，不是首选。 参数扫描天生像作业，而演化博弈的参数相图在文献里是标准操作，你很可能是在重做别人做过的事。最便宜的规避方式：开题前先确认 reactive-k 族的相图确实没有现成结论；找不到"为什么之前没人做"的具体理由就换题——本文件开头的警告对这一条最适用。必查 arXiv 与 evolutionary game theory 综述。
产出性质： 计算证据（相图）。规模：4 维支付参数网格 × 3 种匹配规则，每格一次复制者动力学积分，笔记本分钟级——算力不是这条的瓶颈，新颖性才是。
M1164–82
tau-除子拓扑的性质矩阵与反例普查
框架ISEF 2026 MATH019 在三类结构化关系上刻画了 tau-除子拓扑的性质；把小规模上的关系完全枚举，这三类之外还有哪些关系产生新的性质组合？哪些性质组合根本不可实现？
你自己的那一点MATH019 处理的是三类预先挑好的关系（divisive、保相伴且可细化、tau-除法可传递）。"所有关系"上的全景没人看过。 你的贡献是：在截断到 m 个非零非单位元的模型上枚举全部对称关系，对每个关系判定所得拓扑的 T0 / T1 / Alexandrov / 连通性等性质，输出一张"性质组合—是否可实现"的矩阵：可实现的给最小见证关系，不可实现的给证明。之前没人做的具体理由：这个开集构造 Yigit–Koc 2024 才提出、2026 年才被推广到 tau-因子分解，对象刚被定义；而穷举窗口极窄，正好卡在笔记本能吃下的一小段。
擦过的已有工作： ISEF 2026 MATH019（Special Award） "Theory of a Generalized Divisor Topology"：沿 Yigit–Koc (2024) 的构造，在唯一分解整环上用 tau-因子集作基，分三类关系给出刻画——tau-除法可传递时得 Kolmogorov 空间，divisive 关系在 UFD 上得 Alexandrov 空间。摘要报告的是这三类的结论，未见对关系空间的任何穷举。
约束条件：可行性（F）。 m 个元素上的对称关系有 2^(m(m+1)/2) 个：m=6 是 2²¹ ≈ 210 万（可行），m=7 是 2²⁸ ≈ 2.7 亿（已越界）——窗口只有一两阶。最便宜的规避方式：先按元素置换的同构归约再枚举，能把 m=7 拉进射程，且归约算法本身可以写成方法贡献。开题前查 arXiv 与交换代数会议论文。
产出性质： 计算证据 + 定理（不可实现组合的证明）。明确写出 m 枚举到几、以及 m+1 需要多少倍时间。
M1266–84
Kekulé–矩阵双射的适用形状边界
框架ISEF 2026 MATH024 对"某些"六边形苯系物建立了 Kekulé 结构与两行弱递增矩阵的双射；在完全枚举的小苯系物表上，这个"某些"到底是哪些？越界时两侧计数差多少？
你自己的那一点MATH024 摘要用的是 "certain hexagonal benzenoids"，没有给出这个类的刻画。 你的贡献是：把 h ≤ 8 个六边形的全部苯系物枚举出来（多六边形枚举有现成算法），逐个用转移矩阵算 Kekulé 结构数，再算对应的两行弱递增矩阵数，把二者相等与不等的形状分开，给出等价类的显式刻画。之前没人做的具体理由：这个双射 2026 年才发表，边界刻画是它自然的下一问，而 ISEF 项目通常不会自己划自己的边界。
擦过的已有工作： ISEF 2026 MATH024（Special Award） "Bijection Between Kekulé Structures and Matrices"：建立双射、给出几何直观解释与紧凑编码，并展望计算化学中的更快模拟与机器学习表示。摘要明确把适用范围限定为 "certain hexagonal benzenoids"，未给出该类的定义。
约束条件：原创性风险。 苯系物 Kekulé 计数是化学图论几十年的老题，Clar 结构与转移矩阵法早已成熟，你划出的边界很可能与某个已知的形状分类重合。最便宜的规避方式：把结论表述成"这个具体双射的适用类"，而不是"苯系物的新分类"——前者安全，后者会被打。开题前查 arXiv 与 MATCH Commun. Math. Comput. Chem.
产出性质： 定理（适用类的刻画）+ 计算证据。枚举规模：h ≤ 8 的苯系物在万级，Kekulé 数用转移矩阵秒级；h ≥ 12 时枚举数越过 10⁷ 且需处理同构判重，是笔记本硬顶。
M1377–87
Josephus 变换有向图最大入度猜想的穷举检验
框架ISEF 2026 MATH009 猜想它构造的那个特殊顶点确实取到有向图的最大入度、且入度可表为闭式；把 n 推到原文之上，猜想还成立吗？
你自己的那一点MATH009 摘要写明"我们猜想该顶点取到最大入度并可表为闭式"。这是一条写在纸面上、尚未被推高的猜想。 你的贡献是把全部 n! 个置换的入度算完，把猜想检验到尽可能高的 n：成立就给闭式的实验拟合，不成立就给最小反例。之前没人做的具体理由：这个变换与这张有向图是 MATH009 在 2026 年新定义的对象，除原队伍外还没有第二批人碰过；而"再推一阶"要的是 n! 的算力，恰好卡在笔记本能否吃下的边缘。
擦过的已有工作： ISEF 2026 MATH009（Special Award） "Digraphs From a New Josephus Transformation"：证明任意环长是 n 的倍数，用相异代表系（SDR）与同余集方法分类顶点，发现特殊顶点的入度等于 1 到 n-1 的有序因子分解数之和，并明确把"该顶点取到最大入度"与"闭式"表述为猜想。
约束条件：同题竞争。 ⚠️ 本条的风险不是算力，是原队伍。 他们最可能正在做同一件事，而且有一年先手。最便宜的规避方式：开题第一天查 arXiv 与作者主页；若已有后续，立刻转向这张有向图另一个未被问的量（环长分布、连通分支数、反向变换的原像树结构）。
产出性质： 计算证据（猜想的验证或反例）。硬顶必须写进展板：n=10 是 3,628,800 个置换（分钟级），n=11 是 39,916,800（笔记本可行，需按位编码置换、避开 Python 对象开销），n=12 是 4.79 亿，内存与时间双双越界。
M1463–81
组合整除型伪随机数生成器的状态恢复经验边界
框架ISEF 2026 MATH017 基于 C-multinomial 整除结构造了一个通过全部 NIST 检验的伪随机数生成器；统计随机性不等于不可预测——在缩小参数的可枚举实例上，需要多少输出位才能恢复内部状态？
你自己的那一点MATH017 摘要报告了两件事：500M 位通过全部 NIST 统计检验，以及靠基于时间的重播种抵抗状态泄露扩展攻击。摘要中未见针对该结构的状态恢复实测——线性复杂度（Berlekamp–Massey）、代数攻击、格基约化都未报告。 你的贡献是一条经验曲线：在小素数 p、小维数 k 的可完全枚举实例上，实测恢复状态所需的输出位数如何随参数增长，给出安全参数下界的实验依据。你不是在质疑它的定理——定理是对的——你在刻画它作为密码原语的能力边界。之前没人做的具体理由：这个生成器 2026 年才被构造出来，密码分析要等构造公开。
擦过的已有工作： ISEF 2026 MATH017（Grand Award + ISEF 2026 + Special Award） "Cryptographic Application for Pascal-like Pyramids"：把 Rowland 的矩阵积公式推广到任意维 k ≥ 2 的 C-multinomial，证明普适性定理（同一族矩阵支配所有这些序列的整除性，且矩阵完全不携带 C 的信息），复杂度从 O(n³log n) 降到 O(log n)。注意 ISEF 2025 MATH022（Grand Award）"Universal Digit Matrix for Generalized Binomials" 在内容上是同一条线的前一届（C-nomial → C-multinomial），说明这个方向有人在连续推进——开题前务必确认当前进度。
约束条件：学科契合（Fit）与可辩护性。 密码分析容易被判到别的类目，而且"我没打破它"不是结论。最便宜的规避方式：把产出定成数学对象——恢复所需位数关于参数的经验标度律，而不是"攻击成功/失败"的二值结论。开题前必查 arXiv：摘要里就写着密码学应用，专业密码学者很可能已经看过。
产出性质： 计算证据（经验标度律）。规模：Berlekamp–Massey 在 10⁵ 位上秒级，小维格的 LLL 用 fpylll 分钟级；大参数实例不可枚举，必须明确写出你只对哪一段参数区间有结论。
M1567–85
分数阶导数三种定义下同一积分公式的一致性边界
框架ISEF 2025 MATH001 证明了一个把积分写成 s→0 分数阶导数极限的公式，并说它"在对 f 的适当条件下"对 Riemann–Liouville 与 Caputo 都成立；这些条件的实际边界在哪？三种定义在同一批 f 上何时给出不同的值？
你自己的那一点MATH001 的表述里 "suitable conditions on f" 没有被刻画。同一个概念的几种常用定义在同一批对象上是否一致——这是本类目最干净的一种可做题。 你的贡献是：固定一个语法生成的初等函数表（表达式树深度 ≤ 4、算子集固定），对每个 f 用任意精度数值同时算三种定义下的 s→0 极限与真值积分，把一致与不一致的 f 分类，并从不一致那侧提炼出条件的必要性——即给出反例说明某条件不能去掉。之前没人做的具体理由：反例要靠机器扫描函数空间才找得到，而该公式 2025 年才出现。
擦过的已有工作： ISEF 2025 MATH001（Special Award） "Solving Integrals Through Fractional Derivatives"：建立 s→0 极限与积分的关系，指出 Caputo 与 Riemann–Liouville 定义"对同一 s 并不总是重合"却在该公式下都成立，应用于 Frullani 积分、Dirichlet 积分、Euler–Mascheroni 与 Catalan 常数，并推广到 Fourier 分数阶导数与分数阶积分算子（对偶周期函数给出了一个特例证明）。摘要明确写"在适当条件下"，未见条件的刻画或任何反例。
约束条件：可辩护性（W）。 数值上"不相等"可能只是收敛慢或精度不够，不是真的不成立。最便宜的规避方式：任何一个声称的反例都必须配一个解析论证（哪怕只是渐近分析），纯数值的不一致只能当线索用。开题前查 arXiv 与分数阶微积分综述——定义间不一致本身是老话题，你要保证自己问的是"这个具体公式"的边界。
产出性质： 定理（条件必要性的反例）+ 计算证据。规模：深度 ≤ 4 的表达式表在 10⁴–10⁵ 量级，mpmath 每个 f 的三定义极限约秒级，总计小时级；深度 5 以上表达式数爆到 10⁷，是硬顶。